Leonhard Euler (1707-1783)

portret van Euler De Zwitser Leonhard Euler was een wiskundige van de eerste grootte. Overal treft men zijn vondsten aan, in alle gebieden van de meetkunde, de algebra, de mechanica, de natuurkunde. Nog is, twee eeuwen na zijn leven en werken in Petersburg, zijn oeuvre niet geheel uitgegeven, waarmede de Russische Academie van Wetenschappen reeds vroeg een begin gemaakt heeft. Door keizerin Catharina I uit Basel naar de Russische hoofdstad geroepen en spoedig aan het hoofd gesteld van een laboratorium als professor in de theoretische en experimentele natuurkunde, heeft hij zich bezig gehouden met de studie van het geluid en daaraan een muzikale theorie vastgeknoopt, die in 1739 verscheen onder de titel Tentamen novae theoriae musicae. Dat is: Proeve ener nieuwe muziektheorie.
Als een rechtgeaard voorlichter in de achttiende eeuw kan hij niet anders dan verzekerd zijn, dat er voor alles wat er geschiedt een reden moet kunnen worden gevonden, ook voor het feit, dat men deze muziek mooi vindt en die lelijk. Er moet een antwoord zijn op de vraag, waarom het ene volk van een bepaalde muziek geniet, terwijl een ander volk daarvan afkerig is. Hij schrijft dit toe aan een zekere orde die het oor in de klanken ontdekken kan. De mate waarin en het gemak waarmede wij die orde herkennen bepaalt het welbehagen, dat wij in de samenklank en de opeenvolging van klanken scheppen.
Als voorbeeld tekent hij een rij punten op een lijn, even ver van elkaar, twee per centimeter. Laat ons denken aan een rij van blauwe punten. Op dezelfde lijn tekent hij een tweede rij van punten, - laat ons denken aan rode punten - waarvan er drie op een centimeter komen. Met een oogopslag herkennen wij op de lijn een zekere orde in die punten. Er tekent zich een patroon af dat zich steevast herhaalt. Een analoog patroon, in de tijd, heeft men bij een in zessen geslagen maat, waarin de pauken op 1 en 4 komen en de triangel op 1, 3 en 5, de ene twee tegen de andere drie. Indien dit zeer snel gebeurt en inplaats van de slagen op pauk en triangel de trillingen komen van een C-snaar en een G-snaar, dan horen wij met ons oor de orde van die twee tegen drie als een kwint. Veel scherper herkent het oor die verhouding van twee tegen drie, zegt Euler, dan wij op het oog beoordelen kunnen of een lijnstuk precies anderhalf maal een ander lijnstuk is.
Hoe zou Euler genoten hebben van de figuren, die Lissajous verkreeg! Deze liet een lijn trekken door een stift, die in de ene richting tweemaal per seconde heen en weer ging en in een andere richting loodrecht op de vorige driemaal per seconde. Indien de trillingsverhouding zuiver gestemd is, blijft de figuur onveranderlijk een en dezelfde, die zich steeds herhaalt. Mankeert er iets aan de zuiverheid der stemming, dan wordt het een warwinkel van onregelmatige lussen.

Euler wenst een rekenkundige maat voor de herkenbaarheid van de orde in een interval. Aan het hierboven geschetste voorbeeld van pauken met triangel kunnen wij toelichten waarin het merk, het herkenningsmerk voor de orde gelegen is. Het is de ingewikkeldheid van de maat, waarin de slagen als één groep gehoord worden. Nemen wij als ander geval dat de pauken -of een metronoom- zestig maal per minuut worden geslagen, en de triangel -of een tweede metronoom- honderd maal per minuut. De verhouding is dan drie tegen vijf. De minuut zal nu in twintig maten verdeeld worden, elke maat met drie pauken- en vijf triangelslagen, en de maten zullen in vijftien tikjes geteld moeten worden. Dat de zich herhalende groep van slagen nu plaats vindt in een maat van vijftien snelle tellen, terwijl in het vorige geval een maat van zes tellen reeds gelegenheid bood tot onderbrenging van de groep, daarin manifesteert zich de geringere herkenbaarheid van de orde.
Nog een nieuw voorbeeld: horen wij tegelijk een toon van driehonderd trillingen per seconde (zestig maal vijf), en een andere van vierhonderdtwintig trillingen per seconde (zestig maal zeven) dan spelen zich per seconde, figuurlijk gesproken, zestig "maten" af, zestig bewegingsfiguren, die zich herhalen, en elke "maat" moet daarbij in vijfendertig (5 × 7) "tellen", elk van 1/2100 seconde "geslagen" worden.
Men begrijpt, dat Euler het op andere manier zegt. Hij zegt, dat wij de frequentie der trillingen (hier 300 en 420) eerst moeten delen door hun grootste gemene deler (hier 60, wij krijgen dan 5 en 7) en dat men daarna hun kleinst gemene veelvoud moet nemen, dat is hier 35. Dit getal levert hem het uitgangspunt om volgens een bepaalde regel de "gradus suavitatis", de graad van zoetheid, te berekenen. Hoe kleiner graad, des te groter zoetheid, wij zouden zeggen: des te geringer spanning.
Dat uitgangsgetal voor de berekening van de gradus heet bij Euler de expónens. Voor de verhouding van de kwint (2:3) is de expónens 6, voor het interval van de grote sext (3:5) is de expónens 15, voor het interval van de harmonische tritonus (5:7) is de expónens 35.
Het spreekt vanzelf, dat wij de volgorde van de rekenkundige bewerkingen ook kunnen omkeren. Indien gegeven zijn de frequenties 300 en 420, kunnen wij eerst de grootst gemene deler bepalen, 60, en daarna het kleinst gemene veelvoud, dat is 2100 (want 7 × 300 = 5 × 420 = 2100), en vervolgens het KGV delen door de GGD 60. Het quotiënt is Eulers expónens 35 voor het interval van die twee frequenties.

Wat hier voor een interval gezegd is, laat zich aanstonds toepassen op een akkoord. Stel eens dat van drie tonen de frequenties zijn 300, 400 en 500 per seconde. De grootst gemene deler is 100 per seconde, het kleinst gemene veelvoud is 6000 per seconde. De expónens, het ordemerk, het spanningsgetal, is 6000/100 = 60. Hier doet zich het geval voor, dat. er nog meer tonen te bedenken zijn, welke dezelfde deler 100 per seconde hebben, en begrepen zijn in hetzelfde veelvoud 6000 per seconde. Bijvoorbeeld de toon met frequentie 100 per seconde, en die met 6000 per seconde. In het geheel zijn er twaalf, nl. 100, 200, 300, 400, 500, 600, 1000, 1200, 1500, 2000, 3000, 6000. Die tonen met elkander vormen wat Euler noemt een volledig akkoord. Er kan aan het akkoord geen toon toegevoegd worden zonder dat het kleinst gemene veelvoud groter wordt (bijv. als men 900 zou toevoegen) of zonder dat de grootst gemene deler kleiner wordt (bijv. als men 750 zou toevoegen), waardoor de expónens zou toenemen.
In tonen vertaald hebben we het bovengenoemde voorbeeld (getransponeerd) in het volledig akkoord:

F' : F : c : f : a' : c' : a' : c'' : e'' : a'' : e''' : e''''

Wat de frequenties betreft is hier het KGV 2640 per seconde, de GGD 44 per seconde. Zou men hieraan een g' toevoegen, dan zou het KGV 7920 worden; zou men er een e' aan toevoegen, dan zou de GGD 22 worden. In het ene geval wordt de expónens 180, in het laatste geval 120.
Onvermijdelijk liggen de tonen aan het benedeneind en aan het boveneind van het volledige akkoord ver van elkaar. Naar het midden toe zijn de intervallen kleiner. Het buitenste interval is nooit kleiner dan een oktaaf.
In het volgende voorbeeld zijn de buitenste intervallen een duodeciem:

F''CAge'd''b''fis''''  (I)
135323·533 32·533·5

Er zijn acht tonen in dit volledige akkoord. De bijgeschreven producten betekenen de verhouding der frequenties tot de GGD. De expónens is 33·5 = 135. Omdat er in de expónens geen factor 2 zit, komt er in het akkoord geen oktaaf voor, en alle tonen hebben een verschillende letternaam.
Hier is nog een ander voorbeeld, met negen tonen:

F''CAge'cis''b''gis'''dis'''''   (II)
135323·552 32·53·52 32·52

In dit voorbeeld is de expónens 32·52 = 225.

Niemand musiceert met zulke ijle akkoorden. Voor de melodie moeten de tonen dichter bij elkaar liggen. Dat zal niet mogelijk zijn zonder de expónens van het akkoord te verhogen. Men zal het gehele akkoord, over een oktaaf verplaatst, moeten voegen bij wat men al heeft. Dat betekent voor de expónens de vergroting met een factor 2, onverschillig of de oktaafverplaatsing omhoog of omlaag geschiedt.
Neem voorbeeld I. Om dit akkoord van een e'' in het tweegestreepte oktaaf met een verhoudingsgetal 2·3·5 te voorzien, moet er één factor 2 bij. Om het te voorzien van een g'' met verhoudingsgetal 22·32 moet er nog een factor 2 in de expónens bijkomen. De toon a'' vereist 23·5, de toon c'' betekent 24·3 en de toon f'' vereist 25. Dat alles met elkander brengt mede een volledig akkoord met expónens 25·33·5, dat men nauwelijks meer akkoord mag noemen, eerder een voorraad van tonen. Aan de lage kant vinden wij daarin de tonen:

F''F'CFAcfgac'e'f' g'a'c''d''e''f''g''a''b''c''' d'''e'''g'''a'''b'''c''''d''''e''''  (III)
1234568910121516 18202427303236404548 546072809096108120

In het tweegestreepte oktaaf staan nu alle tonen, die wij in onze toonladder van c grote terts gebruiken. In het enkelgestreepte oktaaf ontbreken daarvan de d' en de b', in het klein oktaaf ontbreekt ook de e, in het groot oktaaf zelfs de G. In het driegestreepte oktaaf ontbreekt de f.
Wil men in alle hoorbare oktaven alle tonen van het volledige akkoord I aantreffen, dan moet blijkbaar de expónens met een onbepaald gelaten aantal factoren 2, met 2m, worden uitgebreid tot [2m·33·5]. De toonverzameling, of juister gezegd de verdeling van het oktaaf die men dan krijgt, noemt Euler een genus musicum, een geslacht. Het geslacht, dat op die wijze uit de in (I) genoemde tonen bestaat, is een genus diatonicum. Het diatonische geslacht kan natuurlijk van F naar elke andere uitgangstoon getransponeerd worden. Dit speciale, uit de tonen van I volgende geslacht, betitelt Euler met de naam C durus.
Hierin wijkt Euler af van zijn tijdgenoten, dat hij C durus niet afleidt uit de bas F' : C : G met daarop staande grote terts-drieklanken. C durus bevat voor hem vanzelfsprekend ook fis. Wil men het genus diatonicum opvatten als samenstelling van drie akkoorden, dan zouden dat kunnen zijn de drie grote-tertsdrieklanken op de bas, die bestaat uit Rameau's "Son principal", "Dominante" en "Sous-dominante", mits die drieklanken elk voorzien worden van hun "note sensible", als grote-septiemakkoorden.
In Eulers begrippensfeer behoren de vier tonen van een grote-septiemakkoord bij elkander als delen van één akkoord met expónens [2m·3·5]. Deze akkoorden bevatten zowel een grote drieklank, trias dura (4:5:6) als een kleine drieklank trias mollis (10:12:15). Van deze akkoordsoorten [2m·3·5] zegt Euler: de musici plegen slechts de "harde" en de "zachte" drieklanken te gebruiken, en de overige daarin mogelijke akkoorden als bijkomstig te beschouwen en met de naam dissonant te bestempelen, ofschoon deze al te vaak evenveel of zelfs meer zoetheid hebben dan de gewone drieklanken.

Brengt men alle in akkoord II voorkomende noten binnen één oktaaf, dan krijgt men een toongeslacht [2m·32·52] dat Euler in het algemeen noemt een genus chromaticum. Het speciale chromatische geslacht met de noten van II betitelt Euler met de naam van A mollis. Uit deze naamgeving blijkt wederom hoe volkomen los Euler staat van iemand als Rameau. Onder de tonen van A mollis zoekt men tevergeefs de voor Rameau zo noodzakelijke subdominant, D. Men vindt er de grote- en de kleine-tertsdrieklanken van A en van E, de grote-tertsdrieklank van F, de kleine-terts drieklank van Gis. Men kan erin onderscheiden een bas F : C : g, met vergrote drieklanken erop: f : a : cis' en g : b : dis' en c : e : gis. Inderdaad, laat men c : e : gis weg, dan houdt men de tonen over die Claude Debussy in zijn hele-toonreeks gebruikt:

f : g : a : b : cis' : dis'

Laat men twee andere tonen weg, nl. cis en g, dan houdt men in

A : B : c : dis : e : f : gis : a

over de kleine-tertstoonladder die Tartini gebruikte in zijn bijzonder dissonant harmonisch systeem, en die nu bekend is onder de naam van zigeuner-toonladder.

Bij een genus wordt de macht van de factor 2 in de expónens, bijv. [2m·33·5], onbepaald gelaten. Neemt men de tonen die volgen uit een bepaalde keuze van die macht m, dan vormt de greep uit de tonen van het geslacht die men daarmede doet een speciës, dat is een soort. Stel dat men door zijn instrument beperkt is tot tonen tussen C' en c'''', met een omvang van zes oktaven. De tonen van één speciës die daarbinnen vallen, vormen wat Euler noemt een systema. Bij één soort zijn op die manier nog verschillende systemata mogelijk. Uit III kunnen wij, uit de soort [25·33·5], overnemen dit systema:

F'CFAcfgac'e'f'g' a'c''d''e''f''g''a''
23452·323 322·5 22·33·524 2·32 22·523·333 2·3·52522·32 23·5
b''c'''d'''e''' g'''a'''b'''c''''  (IV)
32·524·3 2.3322·3·5 23·3224·5 2·32·525·3

Maar uit dezelfde soort [25·33·5] kunnen wij ook andere systemata in het beschikbare toongebied leggen.
Een daarvan is:

C'D'E'F'G'A'B'CDEGAB cd
23·3332·3·5 25 22·3223·5 32·524·32·33 22·3·523·32 24·52.32·525·3 22·33
efisgabd'e'fis' g'b'd''e''fis''b''d'''fis'''b'''   (V)
23·3·5 33·5243225·5 22·32·5 23·3324·3·5 2·33·525·32 23·32·5 24·3325·3·5 22·33·5 24·32·5 25·3323.33·5 25·32·5

Nog een derde systema, uit dezelfde speciës, is het volgende:

C'F'G'A'CEFGAc defgabc'd'
2·323322·522·3 3·5242·3222·5 23·3332·3·5 2522·3223·5 32·524·32·33
e'g'a'b'c''d''e''fis''g'' a''b''d'''e'''fis'''g'''b'''  (VI)
22·3·523·32 24·52·32·5 25·322·33 23·3·533·5 24·3225·5 22·32·5 23·3324·3·5 2·33·525·32 23·32·5

Aan de beschouwing van deze systemata knoopt Euler twee conclusies.

De eerste is deze, dat indien men componeert in de gekozen speciës [25·33·5], en de bewegelijkste en toonrijkste melodie aan een bovenstem wil geven, terwijl de figuren in de bas niet altijd met diatonische passen behoeven te lopen, het nuttig is om het systema IV te gebruiken. Daar heeft de bovenstem gelegenheid om van c'' tot c''' alle diatonische trappen van wat wij zouden noemen de toonsoort C-groot te doorlopen.
Wil men, in dezelfde speciës, de melodie en de bewegelijkheid aan de bas geven, bij wijze van passacaglia, dan ligt het voor de hand om het systema V te gebruiken. Dan hebben de bassen van G tot b een ononderbroken diatonische reeks. Op het eerste gezicht zou men menen dat het een reeks is in wat wij zouden noemen de toonsoort G-groot, maar dat is niet juist. De A staat niet een Pythagorassekunde boven G, maar een zuivere kwint beneden E. Daarom is de A niet de A van onze toonsoort G-groot, maar de A van onze toonsoort e-klein, melodisch dalend.
Ten derde kunnen wij dezelfde speciës zo leggen, dat wij het systema krijgen dat in VI staat. Daarin kan de benedenstem een melodie spelen, diatonisch tussen c en e', in C-groot, en contrapuntisch daartegen de bovenstem een melodie, diatonisch tussen g' en b" in e-klein. Beide stemmen bewegen zich dan in het diatonische geslacht dat Euler noemde C durus en zelfs in dezelfde speciës daarvan. Ofschoon, zegt Euler, dit aan de minder ervarenen (imperitioribus) een gedrochtelijke fout (ingens vitium) zal toeschijnen, is het volkomen in overeenstemming met de ware beginselen der harmonie. Klinkt hier niet reeds een stem - meer dan twee eeuwen oud - die ons wijst op de mogelijkheid van polytonaliteit? Die stem gaat door met te zeggen: Op dergelijke wijze worden verscheidene composities die, niettegenstaande omtrent hun welluidenheid geen twijfel bestaan kan, de practische musici paradoxaal toeschijnen, door een beschouwing van de systemata in het gelijk gesteld en met de ware harmonie verzoend.

Het diatonische geslacht van acht tonen en het chromatische van negen tonen worden uitgebreid en samengevat in het genus diatonico-chromaticum van twaalf tonen. Wij zullen Eulers behandeling van dit geslacht kortheidshalve niet weergeven. Bij de bespreking van de zuivere harmonische stemming volgens dit twaalftonige diatonisch-chromatische geslacht [2m·33·52] maakt Euler front tegen diegenen, die volhouden dat de ware muziek eerder in de gelijkheid der intervallen dan in hun eenvoud bestaat. Zelfs verwijt hij hun, meer zich zelf dan aan de harmonie voldoening te verschaffen, door het oktaaf in twaalf gelijke delen te snijden. Hij maakt een vergelijking tussen de zuiver harmonische stemming en de normale halftoonstemming, wijst er op dat op verscheidene plaatsen de afwijking meer dan een komma bedraagt, hetgeen de harmonie niet weinig verstoort, en besluit dat die normale halftoonstemming hoogst strijdig met de harmonie moet geacht worden, al ware het dat grove oren de afwijking nauwelijks bespeuren.

Over de harmonische zevende zegt Euler in zijn Tentamen niet veel. Wel zegt hij aanvankelijk dat hij na de geslachten met de getallen 3 en 5 afgehandeld te hebben, zal beproeven om de zeven in te voeren, waardoor misschien enkele nieuwe muzikale geslachten gevormd en nieuwe tot dusver ongehoorde muziekwerken gemaakt zouden kunnen worden. Maar hij schijnt daar niet meer aan toe gekomen te zijn. Wanneer hij zover gevorderd is, zegt hij dat de instrumenten er niet op ingericht zijn om de intervallen met de zeven voor te brengen, en citeert Leibniz' gezegde, dat men in de muziek niet verder dan vijf placht te tellen. Maar tot meer dan het geslacht [2m·33·52·7] uitrekenen en opschrijven komt het niet. Hij doet er niets mee.
Later, toen hij in Berlijn was, waar Frederik de Grote zoveel belangstelling voor muziek had, hoorde Euler de dominant-septiemakkoorden. Daarop vat hij vlam en in de Memoires van de Berlijnse Academie van 1764 schrijft hij een artikel: Du véritable caractère de la Musique moderne. De reden, die d'Alembert en Rameau zelf geven voor het gebruik van de f in het akkoord g-b-d-f, de bedoeling namelijk om te doen uitkomen dat men in c speelt en niet in g, vindt hij te willekeurig gezocht om er veel over te behoeven zeggen. Het is de zevende harmonische die het oor wil horen en hóórt, zegt hij. Hierin stemt hij overeen met Tartini (1754), die Euler niet gekend schijnt te hebben, en met Kirnberger (1774).
In zijn geestdrift gaat Euler nog verder en hij meent ook Rameau's "sixte ajoutée" als harmonische zevende te moeten interpreteren, f : a : c' : d' = 4 : 5 : 6 : 7 stellende. Hij erkent echter dat dit wel een zeer aanmerkelijke verplaatsing betekent, en dat, om de verhouding bijna helemaal precies in orde te hebben, men zou moeten schrijven 4 : 5 : 6 : 7 = F : A : C : dis. Inderdaad, het komt mij voor dat Euler het doel voorbijschiet. Er is iets gracieus in, dat hij niet te groot was om ook eens een enkele keer zijn mond voorbij te praten!

Van belang is, dat Eulers uitgangspunt geheel afwijkt van dat zijner tijdgenoten. Hij begint niet met een fundamentele bas, maar met de volledige akkoorden. Men denke aan zijn pleidooi voor het grote-septiemakkoord (in die tijd!) dat ik hierboven heb aangehaald. Juist door die aparte instelling heeft zijn theorie iets aan onze moderne tijdgenoten te bieden, dat buiten de traditionele in de muziek gangbare wijze van denken ligt.

A.D. Fokker, 1945

Literatuur