Boekbespreking van A.D. Fokkers Rekenkundige bespiegeling der muziek

In de zesde eeuw voor Christus ontdekte Pythagoras de mogelijkheid, het verschil in hoogte, waardoor twee tonen zich van elkaar onderscheiden, door een verhouding van twee natuurlijke getallen uit te drukken en hij deed daarme een vondst, die op ten minste vier gebieden van menschelijke geestelijke werkzaamheid - muziek, wiskunde, philosphie en natuurwetenschap - een sterke en blijvende uitwerking zou blijken te hebben. Van de drievoudige relatie, waarin de kunst der muziek zich hierdoor tot verschillende wetenschappen geplaatst zag, was die tot de mathesis van den beginne af de innigste; ze zou ook de duurzaamste zijn. Ze werd onderhouden en uitgebreid door Grieksche wiskundigen en muziektheoretici; het middeleeuwsche onderwijsstelsel canoniseerde haar in het quadrivium; ze boeide tal van groote wiskundigen in de zeventiende en achttiende eeuw; en hoewel het daarna niet meer als vanzelfsprekend werd beschouwd, dat iemand die de wiskunde beoefent eo ipso competent zou zijn in de theoretische aangelegenheden der muziek, bleek de geheimzinnige samenhang tusschen tonen en getallen toch altijd weer in staat, wiskundig aangelegde musici en muzikale wiskundigen tot onderzoek te prikkelen.
Het hier boven aangekondigde werk van den conservator van het Natuurkundig Laboratorium van de Teylerstichting te Haarlem levert een sprekend bewijs, hoe onverzwakt een eeuwenoude band tusschen muziek en rekenkunde in onzen tijd nog voortbestaat en hoeveel vroeger onvermoede mogelijkheden de geniale gedachte om toonhoogten door getallen uit te drukken nog in zich bergt. Want het is waarlijk met met uitsluitend historische bedoelingen dat de schrijver het reeds zoo vaak behandelde onderwerp opnieuw ter sprake brengt. Het kan aanvankelijk zoo lijken, wanneer in het eerste hoofdstuk (waarvan pas later blijkt dat het los staat van den systematischen samenhang van het geheel) het werk van een viertal figuren, die voor de geschiedenis der doctrine van belang zijn - Zarlino, Rameau, Tartini en Euler - in afzonderlijke schetsen wordt behandeld. Maar wanneer met het begin van het tweede hoofdstuk het eigenlijke betoog wordt ingezet blijken de bedoelingen van den schrijver heel wat verder te gaan dan het geven van een samenvatting en afronding van wat zijn voorgangers op dit gebied tot stand brachten.
Prof. Fokker bezit namelijk de vaste overtuiging, dat de door hem aangeboden bespiegeling der muziek, wel verre van een bezigheid te zijn; die ˇf nog slechts historische beteekenis zou hebben ˇf slechts die enkelingen zou kunnen boeien, die zich spontaan tot haar aangetrokken gevoelen, integendeel een zaak is, waarin iedere musicus, die zijn kunst niet alleen uitoefent maar haar ook overpeinst, ten zeerste belang moet stellen, omdat zij in staat schijnt, de tegenwoordig wel algemeen gevoelde behoefte aan een vernieuwden theoretischen grondslag van het systeem der muzikale harmonieleer te bevredigen. Zij zal dat niet in de laatste plaats daarom kunnen doen, omdat ze van den beginne af de zoo vaak als dissonant versmade zevende harmonische op voet van gelijkheid met de derde en de vijfde invoert en toepast.
Het vurig pleidooi, dat de schrijver op tal van plaatsen van zijn boek voor het goed recht van de zevende harmonische voert, bepaalt zijn positie in de geschiedenis van de arithmetische muziektheorie als die van een herleefden Zarlino. Deze toch beijverde zich om de harmonische groote terts met frequentieverhouding 5:4 de plaats te doen innemen van de vˇˇr hem overheerschende Pythagoras-terts, die, verkregen door 4 quintsprongen omhoog door twee octaafsprongen omlaag te laten volgen, de frequentieverhouding (3/2)4 : 22 = 81/64. had. De harmonische groote terts is veel eenvoudiger en natuurlijker te definieeren; 5:4 is de relatieve frequentie van een toon die twee octaven beneden de vijfde harmonische van den grondtoon ligt; zij vormt daardoor de natuurlijke aanvulling van de quint, die immers kan worden voortgebracht door van de derde harmonische uit een octaaf omlaag te gaan.
Prof. Fokker wil nu niets anders doen dan op den door Zarlino gewezen weg een stap verder gaan: wanneer men de zevende harmonische van een grondtoon (een toon dus met frequentie 7n, als die van den grondtoon n is) door een verlaging met twee octaven binnen het octaaf van den grondtoon brengt, krijgt men een toon met frequentieverhouding 7:4 die bij gebrek aan een naam, die bij quint en terts zou passen, de harmonische zevende genoemd kan worden (in dit systeem van naamgeving zou de quint dus de harmonische derde en de groote terts de harmonische vijfde heeten). Het is aan dezen toon dat hij, zooals verscheidene musici, mathematici en physici reeds weten, zijn hart verpand heeft, zooals Zarlino het aan de harmonische vijfde gedaan had. Men meene nu echter niet, dat de schrijver, door het pleidooi voor de harmonische zevende te voeren, de muziek een weg zou willen opdrijven, dien haar dienaren, de musici en speciaal de componisten, tot dusver nog nooit bewandeld hebben. Integendeel: zijn stelling is juist, dat de harmonische zevende in talrijke gevallen (het boek bevat er sprekende voorbeelden van) door de componisten reeds intu´tief gebruikt is; men merkt het alleen bij het bekijken van de gedrukte of geschreven muziek niet op, omdat er voor die harmonische zevende geen teeken en geen naam bestaat Het zal nu duidelijk zijn, welke taak de schrijver te vervullen had: het notenstelsel zoo te verfijnen, dat de harmonische zevende daarin een plaats kan vinden; het apparaat van nomenclatuur en notatie te scheppen waardoor zij in dat notenstelsel zal kunnen worden benoemd en in het notenschrift zal kunnen worden vastgelegd; en tenslotte, steunend op deze uitdrukkingsmogelijkheden het bewijs te leveren, dat zij in de moderne muziek een zelden tot bewustzijn gebracht, maar daarom niet minder krachtig levend bestaan voert.
Bij de uitvoering van het eerste en omvangrijkste gedeelte van deze taak is hem het geluk te beurt gevallen, dat het verlangde notenstelsel kant en klaar te vinden was in het werk van een anderen Nederlandschen mathematicus, die zich met voorliefde in de rekenkundige bespiegeling der muziek verdiept heeft, namelijk Christiaan Huygens. Deze heeft immers ontdekt, dat wanneer men het octaaf verdeelt in 31 gelijke intervallen, diŰzen genaamd, de eenvoudige harmonische intervallen zich met een groote nauwkeurigheid door geheele aantallen van zulke diŰzen laten benaderen (de quint door 18, de groote terts door 10, de harmonische zevende door 25 diŰzen). Een naamgeving met achtervoegsels is, es, isis en eses is in dit stelsel op grond van quint- en tertsrelaties gemakkelijk aan te geven en de harmonische zevende bij c als grondtoon neemt als ais de haar toekomende plaats tusschen de andere 31 tonen in; zij ligt 2 diŰzen boven a en 3 diŰzen beneden b. (In de gebruikelijke indeeling van het octaaf in 12 gelijke halftonen zou zij tusschen den 9en en 10en toon, dus tusschen a en ais vallen). De afwijking van den zoo bepaalden toon met de ware harmonische zevende bedraagt slechts 0,8 cents (ter vergelijking diene, dat ze van de a van het halftoonstelsel 31 cents afwijkt en van de ais dus 69 cents). Zij wordt in het stelsel van Huygens dus zoo nauwkeuring getroffen, dat men practisch kan zeggen, dat zij er in voortkomt.
Voor de aanduiding van de harmonische zevende en de andere in het systeem van Huygens nieuw ingevoerde tonen in notenschrift ontleent de schrijver aan Tartini (die de invoering van de harmonische zevende ook al bepleit heeft) een teeken in den vorm van een angel met weerhaak, dat omhoog, resp. omlaag gericht, een verhooging, resp. verlaging van een toon met een diŰze aangeeft; twee van zulke diŰze-angels samen worden als kruis-, resp. mol-teeken geschreven, terwijl nog een speciaal teeken wordt ingevoerd voor de combinatie van een mol met een verlagingsangel.
Alvorens nu echter over te kunnen gaan tot de uiteenzetting van de ten deele reeds verwezenlijkte mogelijkheden, die de invoering van de harmonische zevende opent, moest de schrijver een leer van accoorden, melodieŰn en toongeslachten ontwikkelen, waarin de grondgedachte van zijn systeem (de consequente toepassing van harmonischen en benedenharmonischen en de door deze bepaalde intervallen) ab ovo verwerkt is. Voor de accoordenleer kon hij daarbij voortbouwen op de door Euler ontwikkelde theorie van het z.g. volledig accoord, d.i. een verzameling van tonen, die alle harmonischen zijn van eenzelfden lagen toon den grondtoon, en tevens benedenharmonischen van eenzelfden hoogen toon, den gidstoon. Deze beide begrippen doen ook weer dienst in de melodieleer: een melodie heeft (in het eenvoudigste geval althans) een centrum, dat de door verschuiving over een aantal octaven verkregen vertegenwoordiger is hetzij van den gemeenschappelijken grondtoon hetzij van den gemeenschappelijken gidstoon der in die melodie voorkomende tonen. En de accoordenleer voert op haar beurt tot een exacte en volledige theorie der toongeslachten.
Met dit apparaat gewapend slaagt de schrijver er nu in om tal van harmonische en melodische eigenaardigheden in oude en nieuwe muziek in een onverwacht en helder licht te plaatsen. Natuurlijk moet hij daarbij zekere correcties op het geschreven notenbeeld toepassen; het traditioneele notenschrift, dat op een verdeeling van het octaaf in twaalf halve tonen gebaseerd is heeft immers voor verschillen van een diŰze, zooals de invoering van de harmonische zevende ze met zich meebrengt, geen uitdrukkingsmogelijkheid. Een bepaalde noot kan dus altijd een diŰze hooger of lager bedoeld zijn dan ze geschreven staat en eerst het herstel van dit gemis aan scherpte in de notatie onthult vaak het ware karakter van een accoord, melodie of toongeslacht.
Het boek staat vol met dergelijke proeven van muzikale herinterpretatie op grond van diŰzencorrecties; om een indruk te geven van wat daarmee bereikt kan worden, willen we hier een enkel voorbeeld citeeren: in een verhandeling over z.g. cadensgroepen in het Gregoriaansch is gewezen op de typeerende werking, die in een slotgroep van vier tonen het voorkomen van een groote onderseconde bij een groote terts zooals in fa-sol-la-si, kan hebben. De schrijver waagt nu de onderstelling, dat die groote onderseconde (sol-fa met relatieve frequentie 9:8) wel eens strikt genomen, een interval met frequentieverhouding 8:7 zou kunnen zijn (wat een diŰze grooter is dan het vorige). In dit geval zouden zich namelijk de frequentieverhoudingen der vier opvolgende tonen door het schema 7:8:9:10 laten weergeven (mits men de la niet interpreteert als de beneden-kleine terts van de quart van sol, maar als Pythagoras-seconde boven sol). De groep zou dan dus een fragment blijken te zijn uit een diatonischen ladder van harmonischen om de achtste als grondtooncentrum. Het is uiteraard niet mogelijk om in het korte bestek van een bespreking een ook maar eenigszins voldoenden indruk te geven van de vele arithmetisch-muzikale rijkdommen, die het werk van prof. Fokker bevat. We volstaan dus met een korte verwijzing naar de hoofdstukken over Opvolging van accoorden en Zuivere intonatie en met een iets langere naar de behandeling van de evenredige stemmingen (een gelukkige term voor wat men gewoonlijk gelijkzwevende temperatuur noemt, echter niet alleen toegepast op de verdeeling van het octaaf in twaalf gelijke halftonen, maar op iedere verdeeling in onderling gelijke intervallen, of dit nu 19 derdetonen, 31 diŰzen, 41 zevendetonen of 53 komma's zijn) om nog even stil te staan bij het slothoofdstuk, dat evenals het inleidende historische eerste hoofdstuk, buiten het systematisch kader van het geheel valt.
De schrijver stelt hierin een vraag aan de orde, die bij menigen meer muzikaal dan mathematisch ge´nteresseerden lezer van deze aankondiging wellicht zal zijn gerezen, de vraag namelijk of de muziek als kunst behoefte heeft aan en gebaat is bij een zoo ver gaande arithmetiseering van de wetten der harmonische en melodische structuur als hier wordt geboden en of de al te ver gaande toepassing van zoo sterk intellectualistisch getinte hulpmiddelen als het wiskundig denken ze levert, op den duur niet een fatalen invloed moet uitoefenen op de muzikale intu´tie. Hij reageert op de skepsis, die uit deze vragen spreekt, vooreerst door te wijzen op uitlatingen van bekende musici, waaruit een verlangen naar een verfijnd en vernieuwd arithmetisch systeem der muziek spreekt en vervolgens door de ongegrondheid te betoogen van den angst, dat men door te rekenen zijn intu´tie zou kunnen verliezen. Het eerste argument is sterk; het tweede nog sterker. Inderdaad is het dwaas, een tegenstelling te willen construeeren tusschen een intellectueele wiskunde en een intu´tieve muziek, waar toch de musicus zoo vaak intellectualistisch te werk moet gaan en de mathematicus voortdurend een beroep moet doen op zijn intu´tie. De allerkrachtigste weerlegging echter van den geuiten twijfel zal men door de lectuur van het werk zelf ondergaan; onder al de voor den oningewijde aanvankelijk wellicht wat afschrikwekkend werkende mathematische uitdrukkingswijzen en methoden gloeit immers voortdurend een warme liefde voor de kunst der muziek en de talrijke analysen, die men aantreft, verraden in even hooge mate de fijne muzikaliteit van den schrijver als zijn arithmetische bedrevenheid.
Laat dus niemand, die zich voor de theoretische fundeering der muziek interesseert, zich door matheseophobie laten weerhouden, zich in het werk van prof. Fokker te verdiepen. Eerst daardoor zal zijn doel ook bereikt kunnen worden; wat hij doet is wegen wijzen, mogelijkheden toonen. Eerst de belangstelling en de medewerking van de musici en speciaal van de componisten onder hen zal aan de denkbeelden, die hij met zooveel vuur en talent verdedigt, de muzikale verwerkelijking en daarmee de overwinning kunnen bezorgen.

Dr E.J. Dijksterhuis, 1946
Verschenen in Mens en Melodie, jaargang 1, 1946, pp. 59-62.